Question

11．在Rt△ABC中，點D是斜邊AB上的點，且滿足∠ACD=45°，∠BCD=45°，設AC=x，BC=y，DC=$\sqrt{2}$，則x，y滿足的相等關系式是x+y=xy（x＞1，y＞1），△ABC面積的最小值是2．

Answer 1

分析 由D點向AC，BC作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，可求EC=ED=CF=FD=1，由$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$即可解得x，y滿足的相等關系式，由三角形面積公式及基本不等式可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}（x+y）$≥$\sqrt{xy}$，即可解得△ABC面積的最小值．

解答 解：由題意，由D點向AC，BC作垂線  垂足分別為E，F(xiàn)，
∵∠ACD=45°，∠BCD=45°，
∴EC=ED=CF=FD=1，
∴由$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$得到$\frac{1}{y}=\frac{x-1}{x}$，整理可得：x+y=xy（x＞1，y＞1）．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}（x+y）$≥$\sqrt{xy}$，整理可得：xy≥4．
故解得△ABC面積的最小值是2．
故答案為：x+y=xy（x＞1，y＞1），2．

點評 本題主要考查了勾股定理，基本不等式的應用，綜合性較強，屬于基本知識的考查．