Question

設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為。如圖所示，過點(diǎn)

作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G。已知拋物線在點(diǎn)

G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F1。

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；     (6分)

（2）設(shè)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得

△ABP為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具

體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）。(8分)

Answer 1

（本題滿分14分）

由得 

          當(dāng)時(shí)，，G點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，b＋2）

     法一：GF的斜率，方程為

聯(lián)立與消去，由得

    法二： 過點(diǎn)G的切線方程為整理得， ，

         令y＝0得  ，點(diǎn)的坐標(biāo)為 （2-b，0）；

       由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為（b，0），

         即 b＝1，

   因此所求的橢圓方程及拋物線方程分別為和。

 （2）過A作x軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P,

      以為直角的只有一個(gè);

      同理以為直角的只有一個(gè);

     若以為直角, 設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則A、B坐標(biāo)分別

為、

      由得，

     關(guān)于的一元二次方程有一解，x有二解，即以為直角的有二個(gè);

     因此拋物線上共存在4個(gè)點(diǎn)使為直角三角形。