Question

如圖,正三棱柱ABC—A₁B₁C₁各棱長都等于a,E是BB₁的中點(diǎn),

(1)求直線C₁B與平面A₁ABB₁所成角的正弦值;

(2)求證:平面AEC₁⊥平面ACC₁A₁;

(3)求點(diǎn)C₁到平面AEC的距離.

Answer 1

答案：(1)解：取A₁B₁中點(diǎn)M,連結(jié)C₁M、BM.

∵三棱柱ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱,∴C₁M⊥A₁B₁,C₁M⊥BB₁.∴C₁M⊥平面A₁ABB₁.

∴∠C₁BM為直線C₁B與平面A₁ABB₁所成的角.在Rt△BMC₁中,C₁M=a,BC₁=2a,

∴sin∠C₁BM=.

(2)證明:取A₁C₁的中點(diǎn)D₁,AC₁的中點(diǎn)F,連結(jié)B₁D₁、EF、D₁F,則有D₁FAA₁,B₁EAA₁,

∴D₁FB₁E.則四邊形D₁FEB₁是平行四邊形,∴EFB₁D₁.由于三棱柱ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱,∴B₁D₁⊥A₁C₁.又平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁于A₁C₁,且B₁D₁平面A₁B₁C₁,∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁.∴EF⊥平面ACC₁A₁.又∵EF平面AEC₁,∴平面AEC₁⊥平面ACC₁A₁.

(3)解：由(2)知,EF⊥平面ACC₁A₁,則EF是三棱錐E—ACC₁的高.由三棱柱各棱長都等于a,

∴EC=AE=EC₁=a,AC₁=a.∴EF=a(或EF=B₁D₁=a).

∵,設(shè)三棱錐的高為h,則h為C₁到平面AEC的距離,則,即×a²h=×a²a.∴h=a,即點(diǎn)C₁到平面AEC的距離為a.