Question

1．如圖1，在△PBC中，∠C=90°，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，AD⊥PB，將△PAD沿AD邊折起到SAD位置，如圖2，且使SB=$\sqrt{13}$．
（Ⅰ）求證：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面SAB與平面SCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明SA⊥AB，SA⊥AD，即可證明SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）延長BA，CD相交于P，連接SP，取SP的中點M，連接MA，MD，證明∠AMD為平面SAB與平面SCD所成銳二面角的平面角，求出MA，MD，即可求平面SAB與平面SCD所成銳二面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：在直角三角形PBC中，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，
所以PB=5，PD=2.5，DC=1.5，
因為∠PAD=∠C=90°，∠P=∠P，
所以△PAD∽△PCB，
所以$\frac{PA}{AC}=\frac{PD}{PB}=\frac{AD}{BC}$，
所以PA=2，AB=PB-PA=3，AD=1.5，
△SAB中，SA=PA=2，SB=$\sqrt{13}$，
所以SA²+AB²=SB²，
所以SA⊥AB
因為AD∥PB，
所以SA⊥AD，
因為AB∩AD=A，
所以SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：在圖2中，延長BA，CD相交于P，連接SP，取SP的中點M，連接MA，MD，則
因為PA=SA，PD=SD，
所以MA⊥SP，MD⊥SP，
所以∠AMD為平面SAB與平面SCD所成銳二面角的平面角，
因為SA⊥AD，AD⊥PB，SA∩PB=A，
所以AD⊥平面SPB，
因為MA?平面SPB，
所以AD⊥MA．
在直角三角形SPA中，PA=SA=2，M為SP的中點，
所以SP=2$\sqrt{2}$，MA=$\sqrt{2}$，
在△SPD中，PD=SD=2.5，M為SP中點，所以MD=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
所以cos∠AMP=$\frac{MA}{MD}$=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$，
所以平面SAB與平面SCD所成銳二面角的余弦值為$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．

點評 考查線面垂直的性質于判定定理，考查平面SAB與平面SCD所成銳二面角的余弦值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．