Question

1．在正項等比數(shù)列{a_n}和正項等差數(shù)列{b_n}中，已知a₁，a₁₁的等比中項與b₁，b₁₁的等差中項相等，且$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{4}{_{11}}$≤1，當a₆取得最小值時，等差數(shù)列{b_n}的公差d的取值集合為（　　）

• A． {d|d$≥\frac{3}{10}$}
• B． {d|0$＜d＜\frac{3}{10}$}
• C． {$\frac{3}{10}$}
• D． {d|d$≥\frac{3}{11}$}

Answer 1

分析 運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，可得a₆=b₆，運用基本不等式求得（b₁+b₁₁）（$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{4}{_{11}}$）的最小值，可得b₁+b₁₁取得最小值9，即有a₆的最小值，運用等差數(shù)列的通項公式，解方程可得d的值．

解答 解：在正項等比數(shù)列{a_n}和正項等差數(shù)列{b_n}中，
已知a₁，a₁₁的等比中項與b₁，b₁₁的等差中項相等，
可得$\sqrt{{a}_{1}{a}_{11}}$=$\frac{_{1}+_{11}}{2}$，
即為a₆=b₆，當a₆取得最小值時，即為當b₆取得最小值時．
由（b₁+b₁₁）（$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{4}{_{11}}$）=5+$\frac{_{11}}{_{1}}$+$\frac{4_{1}}{_{11}}$≥5+2$\sqrt{\frac{_{11}}{_{1}}•\frac{4_{1}}{_{11}}}$=9，
當且僅當b₁₁=2b₁時，取得等號．
再由$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{4}{_{11}}$≤1，可得b₁+b₁₁≥$\frac{9}{\frac{1}{_{1}}+\frac{4}{_{11}}}$≥9，
即有b₁+b₁₁取得最小值9，此時b₁₁=2b₁，
可得最小值b₆=$\frac{9}{2}$，即有b₁+5d=$\frac{9}{2}$，b₁+10d=2b₁，
解得d=$\frac{3}{10}$．
故選：C．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的通項公式的運用，基本不等式的運用，注意等號成立的條件，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．