Question

5．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，BC∥AD，AD=2BC，AC交BD于點O，試問在棱PA上是否存在點E，使得直線PC∥平面EBD？若存在，求PE：PA的值，并證明你的結(jié)論．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 取AD中點F，AF=FD，連接CF，BD，CF交BD于Q，由已知條播是到四邊形ABCF是平行四邊形，四邊形BCDF平行四邊形，由此能推導(dǎo)出存在PC∥平面EBD，且必有PC∥EO，并能求出PE：PA的值．

解答 解：存在PC∥平面EBD．
證明如下：取AD中點F，AF=FD，連接CF，BD，CF交BD于Q，
由已知得AD=2BC=2AF=2FD，故AF=FD=BC，
∵BC∥AF，BC∥DF，
∴四邊形ABCF是平行四邊形，四邊形BCDF平行四邊形，
∴AB=2CQ，
又∵CQ∥AB，∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{AB}{QC}$，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{2}{1}，\frac{CO}{CA}=\frac{1}{3}$，
∴存在PC∥平面EBD，且必有PC∥EO，
∴PE：PA=CO：CA=1：3．

點評 本題考查線面平行判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運用．