Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形，， .

（1）證明： ；

（2）若三棱柱的體積為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）取的中點(diǎn)，連接、、、，由菱形的性質(zhì)可得，，則平面，.

（2）由題意結(jié)合幾何關(guān)系可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系.則平面的一個(gè)法向量為，是平面的一個(gè)法向量.據(jù)此計(jì)算可得二面角的余弦值為.

詳解：（1）取的中點(diǎn)，連接、、、，

由菱形的性質(zhì)及.

得，為正三角形.

∴，，且.

∴平面，∴.

（2）三棱錐的體積是三棱柱體積的三分之一，

得四棱錐的體積是柱體體積的三分之二，即等于.

平行四邊形的面積為.

設(shè)四棱錐的高為，則：

，∴，

又，平面，

建立如圖直角坐標(biāo)系：.

則，，.

，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，

取一個(gè)法向量為，

顯然是平面的一個(gè)法向量.

則.

二面角的余弦值為.