Question

1．設函數f（x）=e^x+ax+b在點（0，f（0））處的切線方程為x+y+1=0．
（1）求a，b值，并求f（x）的單調區(qū)間；
（2）證明：當x≥0時，f（x）＞x²-9．

Answer 1

分析 （1）求函數的導數，利用導數的幾何意義以及切線方程建立方程關系即可求a，b值以及f（x）的單調區(qū)間；
（2）構造函數，利用導數研究函數的單調性和最值關系即可證明不等式．

解答 （1）解：f′（x）=e^x+a，
由已知，f′（0）=-1，f（0）=-1，
故a=-2，b=-2，
f′（x）=e^x-2，
當x∈（-∞，ln2）時，f′（x）＜0，當x∈（ln2，+∞）時，f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，ln2）單調遞減，在（ln2，+∞）單調遞增；…（6分）
（2）證明：設g（x）=f（x）-（x²-9）=e^x-x²-2x+7，
g′（x）=e^x-2x-2，
因為g′（0）=-1＜0，g′（2）=e²-6＞0，0＜ln2＜2，
所以g′（x）在[0，+∞）只有一個零點x₀，且x₀∈（0，2），${e}^{{x}_{0}}$=2x₀+2，
當x∈[0，x₀）時，g′（x）＜0，
當x∈（x₀，+∞）時，g′（x）＞0，
即g（x）在[0，x₀）調遞減，在（x₀，+∞）時，單調遞增，
當x≥0時，g（x）≥g（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-x₀²-2x₀+7=9-x₀²＞0，
即f（x）＞x²-9，…（12分）

點評 本題主要考查導數的幾何意義以及函數單調性的應用，綜合考查導數的應用，運算量較大，綜合性較強．