Question

已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-x²，在區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)p，q，且p≠q，若不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A、[11，+∞）
• B、[13，+∞）
• C、[15，+∞）
• D、[17，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1的幾何意義：得到直線的斜率，然后，得到函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，從而得到f′（x）在（1，2）內(nèi)恒成立．
分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為a＞2x²+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立．從而求出a的范圍．

解答： 解：∵

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1的幾何意義為：
表示點(diǎn)（p+1，f（p+1）） 與點(diǎn)（q+1，f（q+1））連線的斜率，
∵實(shí)數(shù)p，q在區(qū)間（0，1）內(nèi)，故p+1 和q+1在區(qū)間（1，2）內(nèi)．
不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，
∴函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，
故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在（1，2）內(nèi)恒成立．
由函數(shù)的定義域知，x＞-1，
∴f′（x）=

a

x+1

＞1 在（1，2）內(nèi)恒成立．
即 a＞2x²+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立．
由于二次函數(shù)y=2x²+3x+1在[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，
故 x=2時(shí)，y=2x²+3x+1在[1，2]上取最大值為15，
∴a≥15
∴a∈[15，+∞）．
故選C．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的幾何性質(zhì)等知識(shí)，注意分離參數(shù)在求解中的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．