Question

已知向量，，
（I）求與平行的單位向量；
（II）設(shè)，若存在t∈[0，2]使得成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)向量=（x，y），根據(jù)題意，向量為單位向量且與平行，可得；解可得x、y的值，即可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，由可得-kt||²+（t²+3）||²=0，進(jìn)一步可化簡為t²-4kt+3=0；可將原問題方程t²-4kt+3=0在t∈[0，2]內(nèi)有解，分析易得t≠0，則可將其變形為k=（t+），由基本不等式易得k的最小值，即可得答案．
解答：解：（I）設(shè)向量=（x，y），
則有；
解可得或，
則=（，-）或（-，）；
（II）根據(jù)題意，易得||=2，||=1，且•=0；
由可得-kt||²+（t²+3）||²=0，
即t²-4kt+3=0，
問題轉(zhuǎn)化為方程t²-4kt+3=0在t∈[0，2]內(nèi)有解，
則當(dāng)t=0時(shí)，方程t²-4kt+3=0不成立，所以t≠0，
此時(shí)k=（t+）≥，當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)取到等號，
故k的取值范圍是[，+∞）．
點(diǎn)評：本題考查向量數(shù)量積運(yùn)算的綜合應(yīng)用，解（Ⅱ）題時(shí)注意首先將原問題轉(zhuǎn)化為方程t²-4kt+3=0在t∈[0，2]內(nèi)有解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為基本不等式的問題求解．