Question

如圖，在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，已知E，F(xiàn)，G分別為棱AB，AC，A₁C₁的中點，∠ACB=90°，A₁F⊥平面ABC，CH⊥BG，H為垂足．求證：
（1）A₁E∥平面GBC；
（2）BG⊥平面ACH．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形的中位線定理和平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理即可得到EF∥BC，A₁F∥GC．再利用面面平行的判定定理即可證明平面A₁FE∥平面GBC，利用面面平行的性質(zhì)定理即可證明；
（2）利用線面垂直的性質(zhì)定理可得GC⊥AC，從而可證AC⊥平面GBC，于是得到AC⊥BG，利用線面垂直的判定定理即可證明．
解答：證明：（1）連接A₁E．
∵E，F(xiàn)分別為棱AB，AC的中點，
∴EF∥BC，
∵在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，F(xiàn)，G分別為棱AC，A₁C₁的中點，
∴，
∴四邊形A₁FCG是平行四邊形，
∴A₁F∥GC．好
又∵A₁F∩FE=F，GC∩CB=C，
∴平面A₁FE∥平面GBC，
∴A₁E∥平面GBC；
（2））∵A₁F⊥平面ABC，A₁F∥GC，
∴GC⊥平面ABC，
∴GC⊥AC，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥CB．
又CG∩AC=C，∴AC⊥平面BCG，
∴AC⊥BG，
又∵CH⊥BG，AC∩CH=C．
∴BG⊥平面ACH．
點評：熟練掌握用三角形的中位線定理和平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、面面平行的判定和性質(zhì)定理、線面垂直的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．