Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，∠ADC=∠DCB=，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E為AB的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：平面PDE⊥平面PAC；

(Ⅱ)求直線PC與平面PDE所成的角；

(Ⅲ)求點(diǎn)B到平面PDE的距離．

Answer 1

解法一：(Ⅰ)設(shè)AC與DE交點(diǎn)為G，延長(zhǎng)DE交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則△DAE≌△FBE，

∴BF=AD=1，∴CF=4，

∴tan∠F=

又tan∠ACD=，

∴∠F=∠ACD,

又∵∠ACD+∠ACF=90°，

∴∠F+∠ACF=90°，

∴∠CGF=90°，

∴AC⊥DE，

又∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥DE，∴DE⊥平面PAC，

∵DE平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC.

(Ⅱ)連結(jié)PG，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥PG于H點(diǎn)，則由(Ι)知平面PDE上平面PAC，且PG是交線，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，得CH⊥平面PDE，從而∠CPH即∠CPG為直線PC與平面PDE所成的角.

在Rt△DCA中，CG=

在Rt△PCG中，tan∠CPG=

所以有∠CPG=arctan .

即直線PC與平面PDE所成的角為arctan. 

(Ⅲ)由于BF=CF，所以可知點(diǎn)B到平面PDE的距離等于點(diǎn)C到平面PDE的距離的，即CH.

在Rt△PCG中，CH=

從而點(diǎn)D到平面PDE的距離等于. 

解法二：如圖所示，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，

則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為C(0，0,0)，A(2，1，0)，B(0，3，0)，

(Ⅰ)由于=(-1,2,0),=(2,1,0),=(0,0,2)，

所以·=(-1,2,0)·(2,1,0)=0,

·=(-1，2，0)·(0，0，2)=0.

所以DE⊥CA，DE⊥CP.

而CP∩CA=C，所以DE⊥平面PAC.

∵DE平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC.

(Ⅱ)設(shè)n=(x,y,z)是平面PDE的一個(gè)法向量,則n·=n·=0，

由于=(-1,2,0), =(1,2,-2),所以有

令x=2,則y=1,z=2,即n=(2,1,2),

再設(shè)直線PC與平面PDE所成的角為α

而=(0,0,-2),所以

sinα=|cos〈n,〉|=

=,

∴α=arcsin,

因此直線PC與平面PDE所成的角為arcsin.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知n=(2，1，2)是平面PDE的一個(gè)法向量，而(1，-1，0)，所以點(diǎn)B到平面PDE的距離為