Question

11．已知命題p：對任意x∈R，ax²+2x+a≥0，命題q：存在$x∈R，a（{sinx+2{{cos}^2}\frac{x}{2}-1}）=\sqrt{2}$，證明p是q的充分不必要條件．

Answer 1

分析 分別求出p，q的a的范圍，結(jié)合集合的包含關(guān)系，從而證出結(jié)論．

解答 證明：關(guān)于命題p：對任意x∈R，ax²+2x+a≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-{4a}^{2}≤0}\end{array}\right.$，解得：a≥1，
∴p為真時：a∈A=[1，+∞）；
命題q：存在$x∈R，a（{sinx+2{{cos}^2}\frac{x}{2}-1}）=\sqrt{2}$，
∴a（sinx+1+cosx-1）=$\sqrt{2}$，
∴asin（x+$\frac{π}{4}$）=1，
∴q真時a∈B=（-∞，-1]∪[1，+∞），
因為A是B的真子集，
∴p是q的充分不必要條件．

點評 本題考查了充分必要條件，考查二次函數(shù)、三角函數(shù)問題，是一道基礎(chǔ)題．