Question

在三棱錐P-ABC中，PA=a，PB=b，PC=c，且∠BPC=α，∠APC=β，∠APB=γ．
（1）A到面PBC的距離；
（2）四面體P-ABC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,點、線、面間的距離計算

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）作AH⊥平面ABC，垂足為H，作HN⊥PB，HM⊥PC，連接AN，AM，則AN⊥PB．AM⊥PC，求出PM，PN，MN，可得PH，即可求出A到面PBC的距離；
（2）利用三棱錐的體積公式，可求四面體P-ABC的體積．

解答： 解：（1）作AH⊥平面ABC，垂足為H，作HN⊥PB，HM⊥PC，連接AN，AM，則AN⊥PB．AM⊥PC，
∵PA=a，∠APC=β，∠APB=γ．
∴PM=acosβ，PN=acosγ，
∴MN=

a2cos2β+a2cos2γ-2a2cosαcosβcosγ

，
∴PH=

1

sinα

a2cos2β+a2cos2γ-2a2cosαcosβcosγ

，
∴AH=

a

sinα

sin2α-cos2β-cos2γ+2cosαcosβcosγ

；
（2）四面體P-ABC的體積=

1

3

×

1

2

bcsinα×

a

sinα

sin2α-cos2β-cos2γ+2cosαcosβcosγ

=

1

6

abc

sin2α-cos2β-cos2γ+2cosαcosβcosγ

．

點評：本題考查三棱錐的體積，考查A到面PBC的距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．