Question

3．已知函數(shù)y=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，求函數(shù)值的取值范圍；
（3）若將此圖象向右平移θ（θ＞0）個單位后圖象關于y軸對稱，求θ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的增區(qū)間求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)值的取值范圍．
（3）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得θ=$\frac{nπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，n∈z，可得θ的最小值．

解答 解：（1）對于函數(shù)y=3sin（2x+$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈z．
（2）當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{3}{3}$，3]．
（3）若將此圖象向右平移θ（θ＞0）個單位后，可得y=3sin[2（x-θ）+$\frac{π}{6}$]=3sin（2x+$\frac{π}{6}$+2θ）的圖象．
再根據(jù)所得圖象關于y軸對稱，可得$\frac{π}{6}$+2θ=nπ+$\frac{π}{2}$，n∈z，即θ=$\frac{nπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，故θ的最小值為$\frac{π}{6}$．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的增區(qū)間，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．