Question

已知橢圓C過點M（1，

3

2

），兩個焦點為A（-1，0），B（1，0），O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l過點A（-1，0），且與橢圓C交于P，Q兩點，求△BPQ的面積的最大值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知中焦點坐標(biāo)，可得c值，進(jìn)而根據(jù)橢圓過M點，代入求出a，b可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理及基本不等式，即可求出三角形面積的最大值．

解答： 解：（1）∵橢圓C的兩個焦點為A（-1，0），B（1，0），
故c=1，且橢圓的坐標(biāo)在x軸上
設(shè)橢圓C的方程為：

x2

1+b2

+

y2

b2

=1
∵橢圓C過點M（1，

3

2

），
∴

1

1+b2

+

9

4b2

=1
解得b²=3，或b²=-

3

4

∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)直線l的方程為：x=ky-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
直線l的方程代入橢圓方程得：（4+3k²）y²-6ky-9=0
則y₁+y₂=

6k

3k2+4

，y₁+y₂=

-9

3k2+4

∴S=

1

2

•2c•|y₁-y₂|=

12 k2+1

3k2+4

令t=

k2+1

，（t≥1）
則S=

12

3t+ 1 t

，
∵y=3t+

1

t

在[1，+∞）上單調(diào)遞增，故當(dāng)t=1時，y取最小值，此時S取最大值3．

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中解答（2）時，“聯(lián)立方程，設(shè)而不求，韋達(dá)定理”是解答的關(guān)鍵．