Question

中心在原點的橢圓E：（a＞b＞0）的一個焦點為圓C：x²+y²-4x+2=0的圓心，離心率為．
（1）求橢圓E的方程；
（2）橢圓E上是否存在一點P，使得過P點的兩條斜率之積，與圓C相切？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定x²+y²-4x+2=0的圓心C（2，0），可得c=2，利用離心率為，即可求得橢圓E的方程；
（2）設P（x，y），l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，則k₁k₂=，由l₁與圓C：x²+y²-4x+2=0相切，可得k₁，k₂是方程[（2-x）²-2]k²+2（2-x）yk+y²-2=0的兩個實根，結合P在橢圓上，即可求得結論．
解答：解：（1）由x²+y²-4x+2=0得（x-2）²+y²=2，∴圓心C（2，0）
∵橢圓的一個焦點為圓C：x²+y²-4x+2=0的圓心，離心率為．
∴c=2，=，∴a=4，
∴b²=a²-c²=12
∴橢圓E的方程為；
（2）設P（x，y），l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，則l₁：y-y=k₁（x-x），l₂：y-y=k₂（x-x），且k₁k₂=
由l₁與圓C：x²+y²-4x+2=0相切得=
∴[（2-x）²-2]k₁²+2（2-x）yk₁+y²-2=0
同理可得[（2-x）²-2]k₂²+2（2-x）yk₂+y²-2=0
從而k₁，k₂是方程[（2-x）²-2]k²+2（2-x）yk+y²-2=0的兩個實根
所以①，且k₁k₂==
∵，
∴5x2-8x-36=0，
∴x=-2或x=
由x=-2得y=±3；由x0=得y=±滿足①
故點P的坐標為（-2，3）或（-2，-3），或（，）或（，-）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓相切，解題的關鍵是確定k₁，k₂是方程[（2-x）²-2]k²+2（2-x）yk+y²-2=0的兩個實根．