Question

【題目】已知雙曲線(xiàn)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線(xiàn)方程為2x＋y＝0，且頂點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為.

(1)求此雙曲線(xiàn)的方程；

(2)設(shè)P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上，且分別位于第一、二象限，若，求△AOB的面積.

Answer 1

【答案】(1)－x2＝1；(2)2.

【解析】

（1）利用一條漸近線(xiàn)的離心率為2，和頂點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離列出兩個(gè)等式結(jié)合求得可得雙曲線(xiàn)方程；

（2）設(shè)A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m>0，n>0，說(shuō)明P是AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線(xiàn)方程可求得，設(shè)∠AOB＝2θ，則有tan＝2，由此可求得sin 2θ，再有|OA|＝m，|OB|＝n，面積易求．

(1)依題意得解得

故雙曲線(xiàn)的方程為－x2＝1.

(2)由(1)知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y＝±2x，設(shè)A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m>0，n>0，由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入－x2＝1，

整理得mn＝1.

設(shè)∠AOB＝2θ，∵tan＝2，

則tan θ＝，從而sin 2θ＝.

又|OA|＝m，|OB|＝n，

∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin 2θ＝2mn＝2.