Question

17．已知a＞0，b＞0，a+2b=3，則$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$的最小值為$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 將1=$\frac{1}{3}$（a+2b）代入得到$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$）（a+2b）×$\frac{1}{3}$，再利用基本不等式可求最小值．

解答 解：∵a＞0，b＞0，a+2b=3，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$）（a+2b）×$\frac{1}{3}$
=$\frac{4+\frac{4b}{a}+\frac{a}}{3}$
≥$\frac{4}{3}$+$\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}$
=$\frac{8}{3}$，
（當且僅當$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}$即a=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{3}{4}$時取等號），
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$的最小值為$\frac{8}{3}$；
故答案為：$\frac{8}{3}$．

點評 本題主要考查了基本不等式在求解函數(shù)的最值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用1的代換配湊基本不等式的條件．