Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°，E為線段AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F(xiàn)為線段A′C的中點(diǎn)．
(Ⅰ)求證：BF∥平面A′DE；
(Ⅱ)設(shè)M為線段DE的中點(diǎn)，求直線FM與平面A′DE所成角的余弦值．

Answer 1

(Ⅰ)證明：取A'D的中點(diǎn)G，連結(jié)GF，GE， 由條件易知， 所以FC∥BE，F(xiàn)G=BE， 故四邊形BEGF為平行四邊形， 所以BF∥EG， 因?yàn)镋G平面A′DE，BF平面A′DE， 所以BF∥平面A′DE。 (Ⅱ)在平行四邊形ABCD中，設(shè)BC=a， 則AB=CD=2a，AD=AE=EB=a，連結(jié)CE， 因?yàn)椤螦BC=120°， 在△BCE中，可得CE=a， 在△ADE中，可得DE=a， 在△CDE中，因?yàn)镃D2=CE2+DE2，所以CE⊥DE， 在正三角形A′DE中，M為DE中點(diǎn)，所以A′M⊥DE， 由平面A′DE⊥平面BCD，可知A′M⊥平面BCD，A′M⊥CE， 取A′E的中點(diǎn)N，連結(jié)NM，NF， 所以NF⊥DE，NF⊥A′M， 因?yàn)镈E交A′M于M，所以NF⊥平面A′DE， 則∠FMN為直線FM與平面A′DE所成角， 在Rt△FMN中，， 則， 所以直線FM與平面A′DE所成角的余弦值為。