Question

【題目】【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于，直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（I）；（II）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）將曲線(xiàn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，可得，所以，即拋物線(xiàn)的方程為；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ），可設(shè)，得，從而直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程得，解得，直線(xiàn)的方程為，整理得的方程為，此時(shí)直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).

試題解析：（Ⅰ）由曲線(xiàn)，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得， 所以曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，其中，故， 的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，因?yàn)閽佄锞�(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意知，所以，即拋物線(xiàn)的方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，設(shè)，顯然.故，從而直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程得，解得

①當(dāng)，即時(shí)，直線(xiàn)的方程為，

②當(dāng)，即時(shí)，直線(xiàn)的方程為，整理得的方程為，此時(shí)直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)， 也在直線(xiàn)的方程為上，故直線(xiàn)的方程恒過(guò)定點(diǎn).