Question

2．已知直線l的方程是y=x-1和拋物線C：x²=y，自l上任意一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A，B，
（Ⅰ）求證：直線AB恒過定點(diǎn)．
（Ⅱ）求△PAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A（x₁，${x}_{1}^{2}$），B（x₂，${x}_{2}^{2}$），P（x₀，y₀），可求切線PA，切線PB的方程，可得2x₀=x₁+x₂，y₀=x₁x₂，設(shè)直線AB的方程是y=kx+b，代入x²=y得x₀=$\frac{k}{2}$，y₀=-b，代入y₀=x₀-1得-b=$\frac{k}{2}$-1，從而可求直線AB的方程，即可得解．
（Ⅱ）由兩點(diǎn)間距離公式可求|AB|，由點(diǎn)到直線的距離公式可求點(diǎn)P到直線AB的距離d，由三角形面積公式及基本不等式即可得解．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)A（x₁，${x}_{1}^{2}$），B（x₂，${x}_{2}^{2}$），P（x₀，y₀），
因?yàn)閥′=（x²）′=2x，所以切線PA的方程是y-x₁²=2x₁（x-x₁），
即y+x₁²=2x₁x ①，同理切線PB的方程是y+x₂²=2x₂x  ②--------（3分）
由①②得2x₀=x₁+x₂，y₀=x₁x₂，顯然直線AB存在斜率．
設(shè)直線AB的方程是y=kx+b，代入x²=y得x²-kx-b=0，
所以x₁+x₂=k，x₁x₂=-b，即x₀=$\frac{k}{2}$，y₀=-b，③
代入y₀=x₀-1得-b=$\frac{k}{2}$-1-------------------------------------------（5分）
即直線AB的方程是y-1=k（x-$\frac{1}{2}$），恒過定點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，1）-------------（6分）
（Ⅱ）解：|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+{（x}_{1}^{2}{-x}_{2}^{2}）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}[1+（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}]}$
=$\sqrt{[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}][1+（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}]}$
=$\sqrt{（{k}^{2}+4b）（1+{k}^{2}）}$
=$\sqrt{（{k}^{2}-2k+4）（1+{k}^{2}）}$--------------------（9分）
點(diǎn)P到直線AB的距離是d=$\frac{|k（{x}_{0}-\frac{1}{2}）-{y}_{0}+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|{k}^{2}-2k+4|}{2\sqrt{1+{k}^{2}}}$-----（10分）
△PAB的面積=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{4}•|{k}^{2}-2k+4{|}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{4}|（k-1）^{2+3}{|}^{\frac{3}{2}}$$≥\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
當(dāng)k=1時(shí)△PAB的面積取得最小值$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．-----------------------（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)到直線距離公式，直線的方程等知識的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．