Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2$\sqrt{2}$，∠PAB=60°．
（1）證明AD⊥平面PAB；
（2）求異面直線PC與AD所成的角的正切值；
（3）求二面角P-BD-A的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過就是PA²+AD²=PD²，證明AD⊥PA．結(jié)合AD⊥AB．然后證明AD⊥平面PAB．
（Ⅱ）說明∠PCB（或其補角）是異面直線PC與AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB，判斷△PBC是直角三角形，然后求解異面直線PC與AD所成的角正切函數(shù)值．
（Ⅲ）過點P做PH⊥AB于H，過點H做HE⊥BD于E，連結(jié)PE，證明∠PEH是二面角P-BD-A的平面角．RT△PHE中，$tan∠PEH=\frac{\sqrt{39}}{4}$．

解答 （Ⅰ）證明：在△PAD中，由題設(shè)$PA=2，PD=2\sqrt{2}$，
可得PA²+AD²=PD²，于是AD⊥PA．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．
（Ⅱ）解：由題設(shè)，BC∥AD，所以∠PCB（或其補角）是異面直線PC與AD所成的角．
在△PAB中，由余弦定理得
$PB=\sqrt{P{A^2}+A{B^2}-2PA•AB•cosPAB}=\sqrt{7}$

由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故$tanPCB=\frac{PB}{BC}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
所以異面直線PC與AD所成的角的正切值為：$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
（Ⅲ）解：過點P做PH⊥AB于H，過點H做HE⊥BD于E，連結(jié)PE
因為AD⊥平面PAB，PH?平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，故HE為PE再平面ABCD內(nèi)的射影．
由三垂線定理可知，BD⊥PE，從而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角．
由題設(shè)可得，$PH=PA•sin60°=\sqrt{3}，AH=PA•cos60°=1$，$BH=AB-AH=2，BD=\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{13}$，
$HE=\frac{AD}{BD}•BH=\frac{4}{\sqrt{13}}$
于是再RT△PHE中，$tan∠PEH=\frac{\sqrt{39}}{4}$．
所以二面角P-BD-A的正切函數(shù)值為$\frac{\sqrt{39}}{4}$．

點評 本題考查二面角的平面角的求法，異面直線所成角的求法，直線與平面垂直的判斷，考查空間想象能力以及邏輯推理計算能力．