Question

3．設對任意的實數x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0總成立，則實數a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 構造函數令f（x）=x²+ax-3a，依題意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＜0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，解之即可求得實數a的取值范圍．

解答 解：令f（x）=x²+ax-3a，
∵對任意的實數x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0總成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＜0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{（-1）}^{2}+a×（-1）-3a＜0}\\{{1}^{2}+a×1-3a＜0}\end{array}\right.$，
解得：a$＞\frac{1}{2}$，
故答案為：（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查函數恒成立問題，構造函數f（x）=x²+ax-3a，依題意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＜0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$是解決問題的關鍵，考查等價轉化思想與函數與方程思想，也可分離參數a，利用對勾函數的性質解決，屬于中檔題．