Question

【題目】如圖在四棱錐中底面為直角梯形，，，側(cè)面為正三角形且平面底面，，分別為的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）首先取中點(diǎn)，連接，再證明平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可證明平面.

（2）首先取中點(diǎn)，連接，根據(jù)平面底面得到底面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量計(jì)算與平面所成角即可.

（1）如圖所示：

取中點(diǎn)，連接，

因?yàn)?/span>為中位線，

所以，

因?yàn)?/span>平面，所以平面.

因?yàn)?/span>，

又因?yàn)?/span>，所以.

所以四邊形為平行四邊形，

所以，

因?yàn)?/span>平面，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，平面，，

所以平面平面.

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）取中點(diǎn)，連接.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)槠矫?/span>底面，

所以底面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示：

設(shè)，，，，

，，.

所以，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，

可取，解得，.

則，

.