Question

如圖，在四棱錐 P﹣ABCD中，四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，AD=1，E 是 PB 的中點．
（Ⅰ）若F是BC上任一點，求證：AE⊥PF；
（Ⅱ）設(shè) AC、BD交于點O，求直線BO與平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：因為四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為2和1的矩形，
側(cè)棱PA⊥平面ABCD，且PA=2
所以BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB．∴BC⊥AE．
又在△PAB中，∵PA=PB，E是PB的中點，
∴AE⊥PB．又BC∩PB=B，
∴AE⊥平面PBC，
又PF面PBC．
∴AE⊥PF．
（2）以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則P（0，0，2），B（2，0，0），E（1，0，1），C（2，1，0），0（1，，0）．
∴．
設(shè)，是平面EAC的一個法向量，則由得即
取x=1得．
而，
∴．
設(shè)直線BO與平面AEC所成角為α，則sinα=．
∴直線BO與平面AEC所成角的正弦值為．