Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)均在第一象限），且直線的斜率成等比數(shù)列，證明：直線的斜率為定值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)橢圓的離心率和所過(guò)的點(diǎn)得到關(guān)于的方程組，解得后可得橢圓的方程．（2）由題意設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立后消元可得二次方程，根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得直線的斜率，再根據(jù)題意可得，根據(jù)此式可求得，為定值．

試題解析：

（1）由題意可得，解得．

故橢圓的方程為．

（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，

由，消去整理得，

∵直線與橢圓交于兩點(diǎn)，

∴．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

則，

∴．

∵直線的斜率成等比數(shù)列，

∴，

整理得，

∴，

又，所以，

結(jié)合圖象可知，故直線的斜率為定值．