Question

在平面直角坐標系xOy中，直線l：x=-2交x軸于點A，設P是l上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足∠MPO=∠AOP。
（1）當點P在l上運動時，求點M的軌跡E的方程；
（2）已知T（1，-1），設H是E上動點，求|HO|+|HT|的最小值，并給出此時點H的坐標；
（3）過點T（1，-1）且不平行于y軸的直線l₁與軌跡E有且只有兩個不同的交點，求直線l₁的斜率k的取值范圍。

Answer 1

解：（1）如圖，設MQ為線段OP的垂直平分線，交OP于點Q， ∵ ∴ ∴，即 另一種情況（如圖2），即點M和A位于OP的同側 因為MQ為線段OP的垂直平分線 ∴ 又∵ ∴ 因此M在x軸上，此時，記M（x，0），設P（-2，a）為l上任意點（a∈R） 由即得 ∴點M（x，0）的軌跡方程為y=0，x≤-1② 綜合①②得，點M的軌跡E的方程為；
（2）由（1）知，軌跡E的方程由E1和E2兩部分組成 當時，過T做垂直于L的直線，垂足為T′，交E1于點 再過H做垂直于L的直線，交l于H ∴ ∴（該等號僅當H′與T′重合（或H與D重合）時取得） 當時，則 綜合可得的最小值為3，此時點H；
（3）由圖3可知，直線l1的斜率k不可能為0 設 ∴，代入E1的方程得 ∴ ∴l(xiāng)1與E中的E1有且僅有兩個不同的交點 又由E2和l1的方程可知，若l1與E2有交點 則此交點的坐標為，且，即當時l1與E2有唯一交點 從上可知l1與E有三個不同的交點 ∴直線l1斜率k的取值范圍是。