Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+lnx（a∈R），
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求f（x）在區(qū)間[e，e²]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）如果函數(shù)g（x），f₁（x），f₂（x）在公共定義域D上，滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就稱g（x）為f₁（x），f₂（x）的“伴隨函數(shù)”。
已知函數(shù)f₁（x）=（a-）x²+2ax+（1-a²）lnx，f₂（x）=x²+2ax，若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f₁（x），f₂（x）的“伴隨函數(shù)”，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，；
對于，
∴f（x）在區(qū)間上為增函數(shù)，
∴。
（Ⅱ）在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f₁（x），f₂（x）的“伴隨函數(shù)”，
則，
令對x∈（1，+∞）恒成立，
且對x∈（1，+∞）恒成立，
，（*）
①若，
當(dāng)時，
在，
此時p（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有，不合題意；
，也不合題意；
②若，
此時在區(qū)間（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
從而p（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
要使p（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只需滿足；
又因為，
h（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；
，
綜合可知a的取值范圍是。