Question

14．已知角α的終邊過點P（-4，3）
（1）求$\frac{tanα}{sin（π-α）-cos（\frac{π}{2}+α）}$的值；
（2）若β為第三象限角，且tanβ=$\frac{4}{3}$，求cos（2α-β）

Answer 1

分析 （1）由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα、cosα、tanα的值，再利用誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系，求得所給式子的值．
（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關系求得sinβ、cosβ的值，再利用二倍角公式求得sin2α、cos2α的值，再利用兩角和差的三角公式，求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵角α的終邊過點P（-4，3），∴r=|OP|=5，cosα=$\frac{-4}{5}$=-$\frac{4}{5}$，sinα=$\frac{3}{5}$，tanα=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{tanα}{sin（π-α）-cos（\frac{π}{2}+α）}$=$\frac{tanα}{sinα+sinα}$=$\frac{1}{2cosα}$=-$\frac{5}{8}$．
（2）若β為第三象限角，且tanβ=$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{4}{3}$，再根據(jù)sin²β+cos²β=1，
可得sinβ=-$\frac{4}{5}$，cosβ=-$\frac{3}{5}$．
再根據(jù)sin2α=2sinαcosα=-$\frac{24}{25}$，cos2α=2cos²α-1=$\frac{7}{25}$，
∴cos（2α-β）=cos2αcosβ+sin2αsinβ=$\frac{7}{25}×（-\frac{3}{5}）$+（-$\frac{24}{25}$）•（-$\frac{4}{5}$）=$\frac{3}{5}$．

點評 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關系、誘導公式，兩角和差的三角公式的應用，屬于基礎題．