Question

二項(xiàng)式（x 

3

2

+x 

1

3

）ⁿ的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和是256，則展開(kāi)式中x⁵的系數(shù)是

 

．（用數(shù)字作答）

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理

專(zhuān)題：二項(xiàng)式定理

分析：本題對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)的和可以通過(guò)賦值令x=1來(lái)求解，而各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和由二項(xiàng)式系數(shù)公式可知為2ⁿ，最后通過(guò)比值關(guān)系為64即可求出n的值是6．利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為1，求出r，將r的值代入通項(xiàng)求出展開(kāi)式的x的系數(shù)

解答： 解：令（x 

3

2

+x 

1

3

）ⁿ中x為1得各項(xiàng)系數(shù)和為2ⁿ，
展開(kāi)式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ
∵各項(xiàng)系數(shù)的和與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64
∴2ⁿ=256
解得n=8
展開(kāi)式的通項(xiàng)為 T_r+1=C₈^rx12-

7r

6

，
12-

7r

6

=5得r=6，
展開(kāi)式中x⁵的系數(shù)是C₈6=28．
故答案為：28．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和的重要方法是賦值法、考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，解答關(guān)鍵是利用展開(kāi)式的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為2ⁿ