Question

16．己知二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）+mx的最大值h（m），并求出h（m）的最小值．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法先設(shè)函數(shù)f（x）的解析式，再由已知條件求解未知量即可；
（2）只需保證對稱軸落在區(qū)間內(nèi)部即可；
（3）分段求出h（m）的解析式，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，可得h（m）的最小值

解答 解：（1）由已知∵f（x）是二次函數(shù)，且f（0）=f（2）
∴對稱軸為x=1，
又由函數(shù)最小值為1，
設(shè)f（x）=a（x-1）²+1，
又f（0）=3
∴a=2
∴f（x）=2（x-1）²+1=2x²-4x+3
（2）要使f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上不單調(diào)，則2a＜1＜a+1
∴0＜a＜$\frac{1}{2}$；
（3）函數(shù)y=f（x）+mx=2x²-（4-m）x+3的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{4-m}{4}$為對稱軸的拋物線，
若$\frac{4-m}{4}$≥0，即m≤4，則h（m）=f（-1）=-m+9，
若$\frac{4-m}{4}$＜0，即m＞4，則h（m）=f（1）=m+1，
故h（m）=$\left\{\begin{array}{l}-m+9，m≤4\\ m+1，m＞4\end{array}\right.$，
故當(dāng)m=4時，函數(shù)h（m）取最小值5．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．