Question

10．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若橢圓上存在點(diǎn)P使得∠F₁PF₂是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是（　�。�

• A． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• C． $（0，\frac{1}{2}）$
• D． $（\frac{1}{2}，1）$

Answer 1

分析 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，P對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)P₀處時(shí)，張角∠F₁PF₂達(dá)到最大值，由此可得結(jié)論．

解答 解：如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，P對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)P₀處時(shí)，張角∠F₁PF₂達(dá)到最大值．由此可得：
∵橢圓上存在點(diǎn)P使得∠F₁PF₂是鈍角，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂＞90°，
∴Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂＞45°，
所以P₀O＜OF₂，即b＜c，
∴a²-c²＜c²，可得a²＜2c²，
∴e＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．