Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

，n∈N^*，猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？這個(gè)猜想正確嗎？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：利用數(shù)列遞推式，計(jì)算前幾項(xiàng)，可猜想通項(xiàng)，證明時(shí)利用取倒數(shù)的方法，可得數(shù)列{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項(xiàng)，

1

2

為公差的等差數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)．

解答：解：在{a_n}中，a₁=1，a₂=

2a1

2+a1

=

2

3

，a₃=

2a2

2+a2

=

1

2

=

2

4

，a₄=

2a3

2+a3

=

2

5

，…，
所以猜想{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

2

n+1

．
這個(gè)猜想是正確的．
證明如下：因?yàn)閍₁=1，a_n+1═

2an

2+an

，
所以

1

an+1

=

2+an

2an

=

1

an

+

1

2

，
即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
所以數(shù)列{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項(xiàng)，

1

2

為公差的等差數(shù)列，
所以

1

an

=1+

1

2

（n-1）=

1

2

n+

1

2

，所以通項(xiàng)公式a_n=

2

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的判斷，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確構(gòu)造等差數(shù)列是關(guān)鍵．