Question

已知函數(shù)f(x)=

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x3+ax2+bx，a，b∈R
（1）曲線C：y=f（x）經(jīng)過點P（1，2），且曲線C在點P處的切線平行于直線y=2x+1，求a，b的值．
（2）已知f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在兩個極值點，求證：0＜a+b＜2．

Answer 1

（1）由f(x)=

1

3

x3+ax2+bx，得：f^′（x）=x²+2ax+b
因為y=f（x）經(jīng)過點P（1，2），所以有

1

3

×13+a×12+b=2，即3a+3b-5=0 ②
又曲線C在點P處的切線平行于直線y=2x+1，所以f^′（1）=2a+b+1=2，即2a+b-1=0   ①
聯(lián)立①②得：a=-

2

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，b=

7

3

；
（2）因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在兩個極值點，所以導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)的二次方程x²+2ax+b=0在（1，2）
上有兩個不等實數(shù)根，則

△=(2a)2-4b＞0 -2＜a＜-1 1+2a+b＞0 4+4a+b＞0

把

-2＜a＜-1 1+2a+b＞0

相加得a+b＞0，
由△＞0得b＜a²，
則a+b＜a+a2=(a+

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2

)2-

1

4

＜2，則結(jié)論得證．