Question

數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意的，總有成等差數(shù)列.
(1)求；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求證:對(duì)任意正整數(shù)，總有

Answer 1

（1）1；（2）；（3）求出.

解析試題分析：本題考查計(jì)算能力和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.（1）由成等差數(shù)列，列出式子，代入可求；（2）由前n項(xiàng)和公式，可將轉(zhuǎn)化為，即，可求得；（3）用裂項(xiàng)相消法求出前n項(xiàng)和.
試題解析：（1）由已知：對(duì)于任意的，總有成等差數(shù)列，
 
令， 即
又因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以 
（2）         ①
  ②
由①-②得：
即即
均為正數(shù)
∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列

（3） 
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，

 
所以對(duì)任意正整數(shù)，總有.
考點(diǎn)：（1）數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系；（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用.