Question

12．設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，}&{x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，}&{x≤0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程2f²（x）+2af（x）+1=0有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{3}{2}$，$-\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，}&{x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，}&{x≤0}\end{array}\right.$的圖象，結(jié)合圖象可知方程2x²+2ax+1=0有2個(gè)不同的且在（0，1）上的實(shí)數(shù)根，從而解得．

解答 解：作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，}&{x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，}&{x≤0}\end{array}\right.$的圖象如下，

又∵方程2f²（x）+2af（x）+1=0有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴方程2x²+2ax+1=0有2個(gè)不同的且在（0，1）上的實(shí)數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-2×4×1＞0}\\{1＞0}\\{2+2a+1＞0}\\{0＜-\frac{a}{2}＜1}\end{array}\right.$；
解得，-$\frac{3}{2}$＜a＜$-\sqrt{2}$；
故答案為：（-$\frac{3}{2}$，$-\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．