Question

16．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．若I為△ABC的內(nèi)心，則$\overrightarrow{CI}$•$\overrightarrow{CB}$的值為（　�。�

• A． 6
• B． 10
• C． 12
• D． 15

Answer 1

分析 由題意可得，∠A=$\frac{π}{2}$，cosC=$\frac{4}{5}$，利用二倍角的余弦公式求得cos∠ICB的值．用面積法求得三角形的內(nèi)切圓半徑r，再利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得CI的值，可得$\overrightarrow{CI}$•$\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CI}$|•|$\overrightarrow{CB}$|•cos∠ICB 的值．

解答 解：由題意可得，∠A=$\frac{π}{2}$，cosC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{5}$，
且I為三角形ABC三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，
∴∠ICB=$\frac{1}{2}$∠C，∴cosC=$\frac{4}{5}$=2cos²∠ICB-1，求得cos∠ICB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，由S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=6=$\frac{1}{2}$•（AB+AC+BC）r=$\frac{1}{2}$×12×r，
求得r=1．
再根據(jù)sin∠ICB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{r}{CI}$=$\frac{1}{CI}$，∴CI=$\sqrt{10}$．
∴$\overrightarrow{CI}$•$\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CI}$|•|$\overrightarrow{CB}$|•cos∠ICB=$\sqrt{10}$•5•$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=15，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，二倍角的余弦公式，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．