Question

如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，，四邊形ABCD為矩形，的中點，且AD＝SD＝2，DC＝3

(1)求證：

(2)求異面直線AD、EF所成角的余弦值

(3)四棱錐S－ABCD有外接球嗎？若有，求出外接球的表面積；若沒有，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)設(shè)SD的中點為G，連結(jié)GF、AG，則可知GF∥DC且GF＝CD

　　又E為AB的中點，故AE∥DC，AE＝CD

　　∴GF∥AE，且GF＝AE

　　所以四邊形AEFG為平行四邊形，故EF∥AG　　2分

　　又EF平面SAD，AG平面SAD

　　∴EF平面SAD　　4分

　　(2)由(1)知，EF∥AG，所以GAD為異面直線所成角或其補角　　6分

　　∵，故SDDA

　　在RtGDA中，AD＝2，GD＝1，故GA＝

　　∴OSGAD＝，

　　即異面直線所成角的余弦值為　　8分

　　(3)∵DS、DA、DC兩兩垂直，所以可知DB為四棱錐的外接球的直徑

又DC＝

　　∴S＝＝，即四棱錐S－ABCD外接球的表面積為　　12分