Question

16．若實(shí)數(shù)x，y滿足$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=x，則x²+y²有最大值16．

Answer 1

分析 將條件配方，令x-2=2cosα，y=sinα，0≤α＜2π，代入所求式子，化簡(jiǎn)整理，由余弦函數(shù)的值域，計(jì)算即可得到所求最大值．

解答 解：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=x，即為x²-4x+4y²=0，
配方可得，（x-2）²+4y²=4，
令x-2=2cosα，y=sinα，
即x=2+2cosα，y=sinα，0≤α＜2π，
則x²+y²=（2+2cosα）²+sin²α
=4+8cosα+4cos²α+sin²α
=3cos²α+8cosα+5
=3（cosα+$\frac{4}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，
由-1≤cosα≤1，可得cosα=-1時(shí)，取得最小值0；
cosα=1時(shí)，取得最大值16．
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查給定條件下的最值的求法，注意運(yùn)用配方和三角換元法，考查余弦函數(shù)的值域的運(yùn)用，屬于中檔題．