Question

5．已知直線l：x=my+n（n＞0）過點A（$\sqrt{3}$，1），若x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≤my+n}\\{x-\sqrt{3}y≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，且不等式組所表示可行域的外接圓直徑為4，則函數z=$\sqrt{3}$x-y的最大值為6．

Answer 1

分析 先畫可行域得△OAB，再利用正弦定理a=2RsinA先求出n的值，利用線性規(guī)劃的知識進行求解即可．

解答 解：∵直線l：x=my+n（n＞0）過點A（$\sqrt{3}$，1）
∴直線x-$\sqrt{3}$y=0也過點A（$\sqrt{3}$，1），且m+n=$\sqrt{3}$，
若不等式組所表示可行域的外接圓直徑為4，
則m＜0，
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖，由題意知可行域為圖中△OAB及其內部，
則直線x-$\sqrt{3}$y=0的斜率k=tan∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則∠AOB=30°，
由正弦定理得$\frac{AB}{sin30°}=2R$，
則AB=2Rsin∠AOB=4×sin30°=2，
∵B（n，0），∴|AB|=$\sqrt{（\sqrt{3}-n）^{2}+1}$=2，
得n=2$\sqrt{3}$，即B（2$\sqrt{3}$，0）
由z=$\sqrt{3}$x-y得y=$\sqrt{3}$x-z，
平移y=$\sqrt{3}$x-z，
由圖象知當直線y=$\sqrt{3}$x-z經過點B時，直線的截距最小，此時z最大，
即z=$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$=6，
故答案為：6．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據條件結合三角形的外接圓的性質，利用正弦定理求出n的值是解決本題的關鍵．