Question

如圖，設AB為⊙O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是⊙O與l的公共點，AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C，D，且PC=PD，求證：
（1）l是⊙O的切線；
（2）PB平分∠ABD．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明l是⊙O的切線，可利用切線的判定定理，由于P點已經在圓上，故我們可以證明l與過P點的半徑垂直，即可得到結論；
（2）要想得到PB平分∠ABD，即證∠DBP=∠ABP，觀察到已知中及（1）的結論中有多個垂直關系，又由AB為直徑也可得到∠APB=90°，故可以結合弦切角定理，利用等量代換的思想解決問題．
解答：證明：（1）連接OP，
因為AC⊥l，BD⊥l，
所以AC∥BD．
又OA=OB，PC=PD，
所以OP∥BD，
從而OP⊥l．
因為P在⊙O上，
所以l是⊙O的切線．

（2）連接AP，
因為l是⊙O的切線，
所以∠BPD=∠BAP．
又∠BPD+∠PBD=90°，
∠BAP+∠PBA=90°，
所以∠PBA=∠PBD，
即PB平分∠ABD．
點評：本題（1）考查的知識點是切線的判定定理：過半徑的一端與半徑垂直的直線是圓的切線，他的證明思路有兩種，一是先做垂直，再證明線段長等于半徑；一是先做半徑然后證明直線與半徑垂直．而在（2）中根據已知條件分析轉化的方向也是解題的主要思想．解決就是尋找解題的思路，由已知出發(fā)，找尋轉化方向和從結論出發(fā)尋找轉化方向要結合在一起使用．