Question

5．已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為2的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=4，則此棱錐的體積為（　�。�

• A． $\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$
• D． $4\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用截面圓的性質即可求出點O到平面ABC的距離，進而求出點S到平面ABC的距離，即可計算出三棱錐的體積．

解答 解：因為△ABC是邊長為2的正三角形，所以△ABC外接圓的半徑$r=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
所以點O到平面ABC的距離$d=\sqrt{{R^2}-{r^2}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
SC為球O的直徑，點S到平面ABC的距離為$2d=\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，
此棱錐的體積為$V=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}×2d$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{{4\sqrt{6}}}{3}=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，
故選A．

點評 本題考查三棱錐的體積，考查學生的計算能力，求出點O到平面ABC的距離，進而求出點S到平面ABC的距離是關鍵．