Question

12．已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，a₁=-2，且滿足S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1+n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=log₃（-a_n+1），求數(shù)列{$\frac{1}{{_{n}b}_{n+2}}$}前n項(xiàng)和為T_n，求證T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （I）S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1+n+1（n∈N^*）．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n+1+n+1-$（\frac{1}{2}{a}_{n}+n）$，化為：a_n+1=3a_n-2，可得：a_n+1-1=3（a_n-1），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）b_n=log₃（-a_n+1）=n，可得$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．再利用“裂項(xiàng)求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可證明．

解答 （I）解：∵S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1+n+1（n∈N^*）．∴n=1時(shí)，-2=$\frac{1}{2}$a₂+2，解得a₂=-8．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n+1+n+1-$（\frac{1}{2}{a}_{n}+n）$，
化為：a_n+1=3a_n-2，可得：a_n+1-1=3（a_n-1），
n=1時(shí)，a₂-1=3（a₁-1）=-9，
∴數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為-3，公比為3．
∴a_n-1=-3ⁿ，即a_n=1-3ⁿ．
（II）證明：b_n=log₃（-a_n+1）=n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{_{n}b}_{n+2}}$}前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}$$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{3}{4}$．
∴T_n＜$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了“裂項(xiàng)求和”方法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．