Question

在△ABC中，sinA=4cosB•cosC，且tanB•tanC=3，
（1）求角A的余弦值；
（2）若角A所對(duì)的邊a長(zhǎng)為4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，由條件利用兩角和的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tanB+tanC=4，再由 tanB•tanC=3，可得 tan（B+C）的值，從而求得tanA，進(jìn)而求得sinA和
cosA的值．
（2）若角A所對(duì)的邊a長(zhǎng)為4，不妨設(shè)B＞C，則tanB＞tanC，tanB+tanC=4、tanB•tanC=3，可得tanB=3，tanC=1，從而求得sinB 和 sinC的值，再利用正弦定理求得
b、c的值，即可求得△ABC的面積

1

2

•bc•sinA 的值．

解答：解：（1）在△ABC中，sinA=4cosB•cosC，故 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=4cosBcosC，
兩邊同除cosBcosC可得  tanB+tanC=4．
再由 tanB•tanC=3，可得 tan（B+C）=

tanB+tanC

1-tanBtanC

=-2，故 tanA=

sinA

cosA

=2，故A為銳角．
再由 sin²A+cos²A=1，可得sinA=

2 5

5

，cosA=

5

5

．
（2）若角A所對(duì)的邊a長(zhǎng)為4，不妨設(shè)B＞C，則由（1）中 tanB+tanC=4、tanB•tanC=3，可得tanB=3，tanC=1，
故sinB=

3 10

10

，sinC=

2

2

．
由正弦定理可得

4

5 5

=

b

3 10 10

=

c

2 2

，由此求得 b=6

2

，c=2

10

，故△ABC的面積為

1

2

•bc•sinA=12．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式、正切公式、正弦定理及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于中檔題．