Question

已知a、b、c∈R⁺，求證：(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c²)≥16abc．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：(綜合法) 　　∵ab＋a＋b＋1＝(a＋1)(b＋1)， 　　ab＋ac＋bc＋c2＝(a＋c)(b＋c)， 　　又∵a＞0，b＞0，c＞0， 　　∴a＋1≥2＞0，b＋1≥2＞0， 　　a＋c≥2＞0，b＋c≥2＞0． 　　∴(a＋c)(b＋c)≥4＝ 　　(a＋1)(b＋1)≥4＞0． 　　因此當(dāng)a、b、c∈R+時，有 　　(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc，結(jié)論得證． 　　證法二：(分析綜合法) 　　要證(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc成立， 　　只需證(a＋1)(b＋1)(a＋c)(b＋c)≥16abc成立． 　　由于a＞0，b＞0，c＞0， 　　∴a＋1≥2，b＋1≥2， 　　a＋c≥2，b＋c≥2． 　　∴(a＋1)(b＋1)(a＋c)(b＋c)≥2·2·2·2＝16abc， 　　即(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc成立．