Question

如下圖，是一個(gè)計(jì)算裝置示意圖，J₁、J₂是數(shù)據(jù)入口，C是計(jì)算結(jié)果的出口，計(jì)算過(guò)程是由J₁、J₂分別輸入自然數(shù)m和n，經(jīng)過(guò)計(jì)算后得自然數(shù)k由C輸出，此種計(jì)算裝置完成的計(jì)算滿足以下三個(gè)性質(zhì)：

①若J₁、J₂分別輸入1,則輸出結(jié)果為1;

②若J₁輸入任何固定自然數(shù)不變，J₂輸入自然數(shù)增大1,則輸出結(jié)果比原來(lái)增大2;

③若J₂輸入1,J₁輸入自然數(shù)增大1,則輸出結(jié)果為原來(lái)的2倍.

試問(wèn)：

(1)若J₁輸入1,J₂輸入自然數(shù)n,輸出結(jié)果為多少？

(2)若J₂輸入1,J₁輸入自然數(shù)m,輸出結(jié)果為多少？

(3)若J₁輸入自然數(shù)m,J₂輸入自然數(shù)n,輸出結(jié)果為多少?

Answer 1

解：(1)由題意，設(shè)f(m,n)=k,則f(1,1)=1,

f(m,n+1)=f(m,n)+2,f(m+1,1)=2f(m,1).

    在f(m,n+1)=f(m,n)+2中，令m=1,則有f(1,n+1)=f(1,n)+2.

    由此可知f(1,1),f(1,2),…,f(1,n),…組成以f(1,1)為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

∴f(1,n)=f(1,1)+2(n-1)=2n-1.

(2)∵f(m+1,1)=2f(m,1),

∴f(1,1),f(2,1),…,f(m,1),…組成以f(1,1)為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

∴f(m,1)=f(1,1)·2^m-1=2^m-1.

(3)f(m,n+1)=f(m,n)+2,

∴f(m,1),f(m,2),…,f(m,n),…組成以f(m,1)為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

∴f(m,n)=f(m,1)+2(n-1)=2^m-1+2n-2.