Question

13．甲乙兩人進(jìn)行拋硬幣游戲，規(guī)定：每次拋幣后，正面向上甲贏，否則乙贏．此時兩人正在游戲，切知甲再贏m（常數(shù)m＞1）次就獲勝，而乙要再贏n（常數(shù)n＞m）次才獲勝，其中一人獲勝游戲就結(jié)束．設(shè)再進(jìn)行ξ次拋幣，游戲結(jié)束．
（1）若m=2，n=3，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）若n=m+2寫出概率P（ξ=m+k）（k=2，3，…，m+1）的表達(dá)式（不必寫出過程）．

Answer 1

分析 （1）討論各種情況，利用相互獨立事件的概率公式計算對應(yīng)的概率，得出數(shù)學(xué)期望；
（2）根據(jù)組合數(shù)公式和概率公式得出概率表達(dá)式．

解答 解：（1）設(shè)事件A為：拋一次硬幣，正面向上，事件B：拋一次硬幣，反面向上，
則P（A）=P（B）=$\frac{1}{2}$，
∵m=2，n=3，∴ξ的可能取值為2，3，4，
且P（ξ=2）=[P（A）]²=$\frac{1}{4}$，P（ξ=3）=${C}_{2}^{1}•$[P（A）]P[（B）]P（A）+[P（B）]³=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=4）=${C}_{3}^{1}$•P（A）•P（B）•P（B）•P（A）+${C}_{3}^{1}$•P（A）•[P（B）]³=$\frac{3}{8}$，
∴E（ξ）=2×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{3}{8}$+4×$\frac{3}{8}$=$\frac{25}{8}$．
（2）P（ξ=m+k）=（${C}_{m+k-1}^{m-1}$+${C}_{m+k-1}^{m+1}$）（$\frac{1}{2}$）^m+k．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與概率計算，屬于中檔題．