Question

若f（x）=-

1

2

x2+bln（x+2）在（0，+∞）上是減函數(shù)，則b的取值范圍是

{b|b≤0}

．

Answer 1

分析：因為函數(shù)f（x）=-

1

2

x2+bln（x+2）在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以f（x）的導(dǎo)數(shù)當(dāng)x＞0時橫小于等于0，就可得到一個含b和x的不等式，分離b，x，得到b≤x²+2x，若該不等式在x＞0時恒成立，則b小于等于x²+2x的最小值，再借助x²+2x的單調(diào)性求最小值即可．

解答：解：對f（x）=-

1

2

x2+bln（x+2）求導(dǎo)，得，f′（x）=-x+

b

x+2

，
∵f（x）=在（0，+∞）上是減函數(shù)，∴當(dāng)x＞0時，f′（x）≤0恒成立．
即-x+

b

x+2

≤0在x＞0時恒成立，
化簡得，當(dāng)x＞0時，b≤x²+2x恒成立．
令t=x²+2x，當(dāng)x＞0時，t＞0，
∴b≤0
故答案為{b|b≤0}

點評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，以及恒成立問題的解法．