Question

對一切實數(shù)x，所有的二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＜b）的值均為非負實數(shù)，則

b-a

a+b+c

的最大值是______．

Answer 1

設(shè)b-a=k，則b=a+k，依題意有b＞a＞0，b²≤4ac，即（a+k）²≤4ac，即c≥

(a+k) 2

4a

．
故

b-a

a+b+c

=

k

2a+k+c

≤

k

2a+k+ (a+k) 2 4a

=

k

9a 4 + 3k 2 + k 2 4a

=

1

k 4a + 9a 4k + 3 2

≤

1

2 k 4a • 9a 4k + 3 2

=

1

2× 3 4 + 3 2

=

1

3

．
當且僅當

k 4a = 9a 4k c= (a+k)2 4a

，即b=c=4a時取等號．
故答案為：

1

3

．